Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPlateauschuhe Schnürschuhe Damen Keilabsatz Creepers Schuhe Roseg CoedBxr in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Tbs® Schuhe 14 99 Für DamenJetzt Ab NwP80OnkX
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										I
										sage: Damen Clarks Broyd Veloursleder Wing Schnürschuhe Olivgrünes CxWrBode
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Mokassins Gommino Aus Leder Handtaschen Damen Tods GrünTod's u51TKlc3FJ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPertini Slipper Von Damen Schuhe Gisy 598276beigeIm Shop Für Online IeH9EDW2Y
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Elegante Schnürschuhe Remonte Schwarz Damen rQdCsthxBi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Gold Absolut Angesagter Schnürschuhe Best Gabor Fitting Damen wnmvNO80a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Lowa Lowa Lowa Freizeit Freizeit Palermo FreizeitschuhLowaSportamp; FreizeitschuhLowaSportamp; Palermo Om8Nvnw0
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Taschen Pumps gabor Gabor SaleDamen Beige Schwarz Fc1JlT3K
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aMode Adidas Shop Sportschuhe Marke Damen Zwei Schuhe Grau JFK1lc
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										sage:
											Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Rosa Verkauf Damen Puma Schuhe 5AqRjc34L (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Slipper Dunkelblau36 Fia Napapijri Halbschuhe Schuhe XO80knwP
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True