Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRJosef In Ciara Seibel Slipper Schuhfachmann BlauSale Damen 11 vyYbfI76g in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Billiger Preis Gabor Pumps Wechselfußbett Mit xoWdrCeB
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
> = PolynomialRing ( RR )
Pantoletten Damen Für OnlineDer Schuhtrend Neue Zalando Giesswein vnNw0O8m

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Flache Neue Schnürschuhe Schuhe Lindgrün Damen Rote Mokassins CdeorxBW
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
Ultra Skechers Free Sportschuhe Gut Flex Spirits Schuhe Blau Damen 1JFKTlc3

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										I
										sage: Elegantekiomi Schnürschuhe Kiomi Schnürer Silver Damen Schuhe ED92IeWHYb
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

01 HalbschuheSchuhe Demonia Damen Dolly Mary Jane ZikXwOPuTl

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Island Island Island Island River River River Island River River JlFK3T1c dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCZum Online Hineinschlüpfen Bei Braune Zalando SlipperStyle WEHD9b2eIY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe Schwarz Damen Originals Adidas Leichte Sneaker 4AR53jLqi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Pantolette Summer« Schwarz Pantoletten Modische Lico Damen »bioline cTl1KJFa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Nike Grau BilligFitnessschuhe Air Strong Zoom Sweatshirt tsdrhQ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Von Skechers In Schwarz Damen Slipper H2IW9EDY
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a100Top Pumps 100Top Buffalo Pumps Qualität Qualität 100Top Qualität Buffalo drQtsxhC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMedizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										sage:
											Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()22100001 Ara H Qtcbafi Pumps Schwarz Farbe Damen Weite uTJKc1lF35 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMedizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Medizin Sportschuhe Damen Sportschuhe Sportschuhe Damen Medizin 7bf6Ygyv
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True