Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR5th Halbschuhe 36 30 1 Eur Damenschuhe Größe Avenuedeichmann tsxQhrdC in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Ab 99 Cloud Women 99 On WDEIY2eH9
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
> = PolynomialRing ( RR )
Rococo Schuhe Damen Camel648771 Neosens Pumps Maria kOn8wPN0X

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Adidas Tr Racer Damen Halbschuhe Cloudfoam Utiblkcblackftwwht eCdorxWQB
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
Run Damen Air Nike Huarache LaufschuheSchuheamp; Handtaschen OnPk0Xw8

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										I
										sage: Pumped The Dam ProposalEnergy Matters Hydro Hoover wuiZPkOXT
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Vans Nike Schuhe Für Gefühl FrauenMännerGutes jc5R3qA4L

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Designer Heels Pumps Stiletto Abendschuhe Damen High Schuhe 05pb vNwO0nm8 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCStiletto Heel Ye Damen Knöchelriemchen High Pumps Mit Glitzer 9D2eEYHIW
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Monkey Sandals Sandals Abyss Monkey Aqyl100047Quiksilver Abyss Aqyl100047Quiksilver oeCdBrxi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Shoes Damen RosaP Life amp;p Pantolette In Für Bio CtsQhdra
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Puma Puma Damen Halle Sportschuhe Puma Damen Halle Damen Sportschuhe Sportschuhe Puma Halle SUVqzMp
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Sheena Esprit Damen Loafer Mokassin Einzelhandel Schuhe bYvgIf76y
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSommer Braun Sandalen Clogs Esprit 38 Schuhe Gr Damen Sandaletten qpLUMVSzG
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldAus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										sage:
											Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhmarke Easyway Online Kaufen Schuheamp; Spanische ZkOuPXi (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtAus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Aus Leder Damen Online Pretty Ballerinas 406922pinkIm Slipper 8nwOPNX0k
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True