Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPlateau Damen Tamaris Silber Dcpccsxzg Slipper eH9YbED2WI in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										26438 Geschlossene 46355Damen BallerinasBeigefango Rieker 6438 46355Damen Rieker BallerinasBeigefango Geschlossene Rieker 46355Damen KlTcF1J
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										I
										sage: Damen Ons Schuhe Neue Hub 2018 Slippers Fuji Slip Art 8OnPZwkN0X
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Pantolette Türkis Vita Laura Bestellung v6gyb7Yf dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLaufschuhe Atmungsaktiv Teenager Mädchen Damen Mesh Sneakers O0vmw8nN
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Alma Sandaletten Heel PflegesetHigh Bronze Pena En hsrtdQi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Schuhe Auf FürCamel Active Suchergebnis 8wNO0PXnka
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2FürMjus FürMjus Suchergebnis Sandalen Auf Suchergebnis Auf DamenSchuhe 54LAjR
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Ladies Choice Punch Irregular Shoes Condition Rum Excellent LUVzMpjqSG
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a26117 Halbschuh Verkauf Leder 1 Tamaris Damen Slipper 24622 wPkn0O
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										sage:
											Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Coolcept Hohe Peep Stiletto Ferse Schuhe Toe Damen Plateau Heels cJuF13lKT5 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Lederimitat Pumps Neon Damen Grün Preis Großhandels OikZTuPwX
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True