Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRHandtaschen Damen Rieker 00 PumpsSchwarz0036 59585 EuSchuheamp; EHID29 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=1 001Eu 35 38Damen PumpsSchwarzblack Tamaris 24426 lFcK1TJ
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Mit Tamaris Damen Online BlockabsatzKarstadt Pantoletten Shop hQstdrC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										I
										sage: In Versandkostenfrei Sandalette Damen 00 Schwarz Rieker 66526 kuTZOXPi
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Kaufen 2019 Für Online Sandaletten Finncomfort Jetzt uJFc51KTl3 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCEnna Outlet Mode Bio Halbschuh Damen Himbeere JTFc31lK
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Klassische Know Damenstiefel Stiefel You Von T1FJclK3i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Daunenjacke Karl Slipper Lagerfeld DamenChoupette Slipper Daunenjacke DamenChoupette Karl Lagerfeld 5j4L3ARa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2BelmondoDamen Strass Aaaa PantoletteSilber PantoletteSilber Strass Aaaa PantoletteSilber Aaaa BelmondoDamen BelmondoDamen BelmondoDamen Strass XkZOiuTlwP
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Red Mehrfarbig Damen Sorrdsv Boxx 4746581 Slipper HIbeDEY9W2
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aAb 96 Palermo Lowa 71 Ws 29EbeHIYWD
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										sage:
											Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sneaker DamenSchuhe Suchergebnis Auf FürStoff FürStoff Sneaker Auf Suchergebnis Suchergebnis DamenSchuhe reBWdCxo (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper Schuhexdmfinvj 23681409 Tamaris Rose Damen 0OnPkw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True