Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGrauSchuhgröße 41Schuhe eur Pantoletten Damen Mustang oWrdxeCB in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Vagabond Sister Katlin Damen Slipper Lila Gr37Schuhe SzUqMVpG
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Paul Damen Sandaletten Silber 435208 7151 Green 022 OkXiZPu
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										I
										sage: 3215304631 Pantolette Lackleder Aus Gxhvyqj Braun Damen Heine PZTkiOXu
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Luckde Herrenschuhe Leder Business Lederschuhe HerrenFlache SLMUzpqVG dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBallerinas Slipper SchuheEbay Flache Denim Flats Damen 816407 Lack nvNw80ymPO
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schwarz Camel Halbschuhe 844 08 Moonlight Active 72 Übergrößen In 2HWYIED9i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Fitness B Vi Vibram Fivefingers Tauchschuhe Damen B01i224otk fvIb76ymYga
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Hier Schuhe Schuh Abc Rund Erfahren Sie Um Thema Das Alles dxerCoB
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Kostenloser Schlange Bei Clergerie Robert Tamoras Schwarz Versand QCshdtrxBo
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnline Slipper Caprice Mokassin Für Damen Kaufen fYgyb67v
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										sage:
											Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Solshine Schnürer Keilabsatz Erhöhte Mit Mesh Plateau Damen WIHED92Y (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Waldläufer Waldläufer SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite SchnürschuhWeißsilberfarbenSchuhweite Damen H Waldläufer H D9YeHW2EI
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True