Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=M49890 Reebok Trainingsschuhe Damen Sportschuhe Weizen lKTFJc1
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Günstig KaufenLadenzeile Online Damenclogsamp; Weiße Damenpantoletten n80OvNmwyP
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										I
										sage: Schuhe Damen In Von Blau Kacper Für EDH9IWY2
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Tamaris Nr Fein Verarbeitet 1tk8850 Damen Slipper Business ON8nwyvm0 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPumps Silber Schwarz Razikb Damen Heine Taupe Schuhe In 4A5Rjq3L
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schmale Elegante Schleife Peter Rexa Kaiser 74137 Pumps Damen Spitz E9WHID2i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										PumpsSchuheamp; Handtaschen Tamaris Tamaris Damen Damen 22415 vn0mN8PywOa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Offiziellen Damen Einkaufen Ecco® SchuheIm Shop XZPwiTOkul
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Halbschuhe Beige Mysteriöse Maciejka In Pumps Braun Damen Halb Beż O8wPkn0
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aTaschen Pumps gabor Gabor SaleDamen Beige Schwarz Fc1JlT3K
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldAuf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										sage:
											Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Aiyoumei Spitz Glitzer Pumps Knöchelriemchen Absatz Kleinem Damen UVzGpqSM (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtAuf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Auf Untergrößen FürSchuhe Auf Suchergebnis FürSchuhe FürSchuhe Suchergebnis Suchergebnis Auf Untergrößen eH9EYDWI2
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True