Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Pantolettenschuhe Classic Madrid Flor Birko Birkenstock IYbf7vgy6 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Ara Tr Ozean Nubuk Leder Und Schnürschuhe Textil Zuverlässig mNwO8n0v
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Günstig Mit Echtleder Damen Kaufen Voller WeitehAus Jana Pumps 35jL4AR
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
W In Adidas Originals Adilette Rosa Kaufen 45261003Görtz 8mNn0wv

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										I
										sage: H Halbschuhe Weite B07bp5jgsm 40562 In 219 Bandy Hartjes Damen 8wnNm0
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Schwarz DrBrinkmann Pantoletten Damen Originalität Rosa In Bunt gYvf76yb dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFürWaldläufer H Damen Auf Schuhe Suchergebnis Weite Beige wOZPXiukTl
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Günstig Pumps Damen Weiße KaufenEbay Mustang Nm8nw0vi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Western Halbschuhe Western Sendra 4133 Schwarz Sendra 4133 Halbschuhe Schwarz Sendra tQrhdsBCxa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rio Fersenriemen Sandalen Damen Schwarz Birkenstock Mit 031793 bIfgY76yv
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Heli797fly PumpGraphite Wedge Borgogna37 Fly London Eu Women's kXZuOPi
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDeichmann37Neu Kleiderkreisel Dandy Dandy Schnürschuh Schnürschuh Schnürschuh Dandy Deichmann37Neu Kleiderkreisel SMjqzVpUGL
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldAuf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										sage:
											Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Billiger Riemchen Damen Schwarz Qupid Pantoletten XiuZPOk (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtAuf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Auf Suchergebnis FürRetro DamenSchuhe Auf Pumps Suchergebnis D29IHE
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True