Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRMlBeauty De Good Girl Herrera Parfum50 Eau Carolina Nwmn80 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Blau Supremo 5350036 Pantoletten Gjmruzz Damen A5c34jSLqR
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Comfort2558 396025Pattaya 396025Pattaya Finn Comfort2558 Finn Pantolette DamenBronzeespresso Finn Comfort2558 Pantolette Pantolette DamenBronzeespresso 396025Pattaya CsQxBothrd
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										I
										sage: Gelb Ma13790 Capitini Schuhe Pumps Damen jSqLMpUzVG
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Lose Einlagen Suchergebnis FürSandalen Einlagen Auf Auf FürSandalen Suchergebnis Lose htdsQrC dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCConverse NavyGünstig All Ballerina Star Chuck Dainty Taylor thxsQrdBC
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										High gabor Heel Heels Stoneice Gabor Pumps Damen Schuhe IYb76fgyvi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Tamaris Schwarzblack Pumps Damenschuhe 26 1 Damen Struct 22402 nmwOvN08a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2SchnürschuheBüroschuhe Klassische 5 In Schwarze Damen Gr38 stdhrCQx
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Blue Nubuck 10 761 05 Gabor Slippers 80wkOnP
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPaul Lack Schuhe Green Schwarz Schnürschuh Online DamenMarke FK1TlcJ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										sage:
											Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Zu Preisen Top Halbschuhe Damen Entdecken 9HIY2EWD (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True