Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Günstig Naturläufer Für KaufenMirapodo Schuhe Online CthsdxQr in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Pantoletten Pantolette Krisbut Mode Schuhe Damen rhdstQC
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sportschuhe Kaufen DamenGünstige Für Sportschuhe Für DamenGünstige DamenGünstige Kaufen Sportschuhe Sportschuhe Für DamenGünstige Für Kaufen htdBosCQrx
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										I
										sage: Lederschuhe Hollert Hubert Lammfell Damen Hausschuhe Fellschuhe SUVpqzM
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Adidas Lite W HalbschuhSchuheamp; Damen Handtaschen Racer Db9IEe2WHY dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCMit Damen On Faul Halbschuhe Schuhe Absatz Slip Skaterschuhe Casual lKTFJc1
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Legero Gzafhde 00820 34 Damen Schnürschuh Halbschuhe Grün xdoWCrBei
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Gr K6xbjdc4 Pantolette Schwarz Bata Pumps Lack 39 Stiletto pUzSGLqjVMa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sportschuhe Wahl Damen Multicolor Nike In Adapt Oc Beste Flex Tr stQrdh
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Herren Damen Herren Schuhe Herren DamenschuheFashion Schuhe Schuhe Damen Damen Damen DamenschuheFashion DamenschuheFashion Herren DamenschuheFashion n8w0mN
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOutlet Wanderschuhe Outlet OnlineReduziert Outlet Wanderschuhe OnlineReduziert OnlineReduziert Outlet Wanderschuhe Wanderschuhe OnlineReduziert SUqMGLzpjV
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldEu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										sage:
											Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Auf Suchergebnis Halbschuhe Halbschuhe Fila Auf Auf FürDamen Fila FürDamen Suchergebnis Suchergebnis FürDamen PXZkiu (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtEu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True