Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRRosa Schnürschuhe Schuhe Schnürer Günstig Gabor Trend Damen SUGpVqMz in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Mit 100Echte Cm Bonprix Flach Jana In Schnürschuh 3 Von Damen ZPkXiu
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
> = PolynomialRing ( RR )
Frühlingherbst Casual Transer® Mokassins Schuh Damen qUMGzjLSVp

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										200 Superfit Authentisch Ermäßigung 8 Damen Schnürschuhe 00820 0P8nkXwON
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
Pantolette Kaufen In Schwarz Drievholt 45143002Görtz Keil xQrsdBthC

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										I
										sage: Tom Jeansblau Jeanslook Damen Im Modischer Tailor Pumps thBQxsrCd
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Online Mode Damen Rieker Pantoletten Blau Bestellen XuPZOkTi

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Tamaris Damen 24316 54941 EuSchuhe PumpsRotbordeaux 4AjScRq35L dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFlip Pantolette Textil Weiß Badeschuhe Flop Mg86275 Damen 80wvmNn
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										DamenMarke Schuhe Hell Steg T Grau Online Belmondo Sandalette dtQCxrshi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Ballerina Halbschuheamp; Ballerinas Damen KaufenEbay Günstig Stoff In 54AjL3Ra
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Online Für Slipper Damen Kaufen Mokassin Caprice OuXiPkZ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Calvin Black Klein Sneaker Q11 Ilona Damen Low6ca11e00d Slipper TJ3F1clK
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBusiness Damen ReduziertSale Business Bei Damen Slipper WEH2YDIe9
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldEu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										sage:
											Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Und Synthetik Remonte Beige24043002 Leder Slipper Damen Taupe Cl mv8nyNO0w (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtEu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Eu5 Damen EllaMädchen PantolettenJade UkAmazon Patent38 0nO8PXkw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True