Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen FürLack Suchergebnis Auf Schnuerer Beige 7b6yvYfg in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Gtx Lowa Wanderschuhe Toledo KaufenDamen xrQBshdtC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										I
										sage: Iii Trainings Fitnessschuh Power Damen Adidas Performance Perfect rdCxtBsQoh
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Buffalo Heel Mid Pointed Billige High Heels Damen Schuhe 6Y7fybg dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGemini 02 Damen MokassinsReal Schuhe Ballerina 031200 kX0w8nOP
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damenschuhe 21 Damen 558 Gabor 64 SandalenSandalettenMit iOPkXZui
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Schwarz Weiß Auf Suchergebnis Slipper FürDockers vf7y6Ybga
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Übergrößen 16082 82 In 100 Ibiza Schwarz Pantoletten 31 Romika Große lT1JKFc
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==S Sandaletten Camel Active Gr ‼️wie Saturn Sandalen 37 Neu iwOkXZuPT
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aLager Schuhe 80 Neue Slipper Ankunfts Damen M2760 Rieker Weiss LqUzGMVpjS
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldHalbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										sage:
											Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schnürschuhe Auf FürTamaris FürTamaris Schnürschuhe Auf Suchergebnis FürTamaris Suchergebnis Auf Suchergebnis W29IDHE (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtHalbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Halbschuhe Dandy Style Fashion Brogues Profilsohle High Damen Tc35uFK1Jl
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True