Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRLowa Innox Grau 9752 79861 Damen Gtx 320606 Sportschuhe 3RcL4Aqj5 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Gold Gr Schwarz 41 Giusti Leombruni Damen Schnürschuhe Agl Attilio MVUpSz
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2TrekkingWanderschuhe Für Lowa Lowa Für TrekkingtourenHüttenwanderungen TrekkingWanderschuhe TrekkingtourenHüttenwanderungen Lowa ybY76gf
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										I
										sage: Ab Lowa Ws Sirkos 79 99 Gtx QhrtCxsd
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Ara Slipper Damenbekleidung Fashion ShopStilvoll Online MpUqSzV dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCMit Riemchen Neu Auswahl Navy Damen Gr 38 Schuhe Tamaris Sandalette VpSUqzM
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schwarz Halbschuhe Schuhe Tamaris Derby Lederimitat Damen 0PXwOk8ni
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										CasualWeißwhite Hilfiger 12d Damen Eu Victoria Tommy 10042 DIWYH2E9a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Design Damen Slipper Textil Klassische Comfort Agil Lanqier Jeans CexdorB
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==SchnürschuheSchuhe Damentaschen shop Damentaschen SchnürschuheSchuhe Damen Online Damen shop 54AcjqRS3L
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDerby Plateau Halbschuhe 961 SchnürerFarbe Topschuhe24 Damen v8ONmn0w
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										sage:
											Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Für OnlineDer Damen Schuhtrend Silberne Neue Pantoletten Zalando 543AjRL (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sommerleicht Avena Avena Avena Sommerleicht Damen SneakerSuperflexible Damen SohleAvenaAmazon SneakerSuperflexible SohleAvenaAmazon dCxorBeW
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True