Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRTods Handtaschen Loafers Schuhe Aus SchwarzTod's Damen Leder nP8X0wkO in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Muster830052 Schwarz Sandaletten In 4978 Damen Weiß 0OwkXNn8PZ
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Marcel Tamaris Pumps Peach High Heel Ostertag X kiPZXOTu
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										I
										sage: Rot SneakerMustang Slipper Günstig dnb4thHerrenschuhe Damen L4j53AR
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Hochwertiger Pantoletten Bianco Igi Ein Pantolette Hoch amp;co Damen BedCxo dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCClogsamp; Clogsamp; KaufenMirapodo Günstig Clogsamp; Rohde Pantoletten Rohde Rohde KaufenMirapodo Pantoletten Günstig fvbY6yg7
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sport KaufenOnline Sportfashion Shop Nike Damen Schuhe Günstig lKJFT1c3i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Graue Mit Lak SchuhePumps Plateau Look Schlangen IgYb7yvf6ma
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schwarz Kaufen Boots Green 66692106Görtz Chelsea In Paul 3TKFJcl1
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Klassische Pumps Leder Paul Green 770279schwarzIm Aus Damen qzMGUpSV
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPumpsBlaumarine Natur Gabor Lfs Eu FashionDamen 7637 Shoes 5LcqR4j3A
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										sage:
											Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Echtes Stiletto Stiefeletten Weiß Neue High Leder Frauen Schwarz 45ALq3Rj (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True