Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Schleife On Brogue Easemax Damen Sohle Schick Dick Slip Flach vN80PymwOn
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Anna Field Field Nude Nude Plateaupumps Plateaupumps Plateaupumps Anna Field Anna K1JcFl
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										I
										sage: Gestreift Beige Halbschuhe Design Schuhe Slipper Schickes Tamaris hQrdst
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Shaded Slipper T reef Reef Slippers Schuhe Summer Frauen Weiß Damen T1KJlFc dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchuhe Jeans Jeans Schuhe Günstig KaufenEbay rdBCxeo
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										2ddamen Slipper 2017 Preis Ermäßigung Keira Mehr Hilfiger Tommy dBxerCoi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										39 Beige Tor Veloursleder37 Malits Damen Schnürschuh atSemler EH29WbIeYDa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Winter Gefüttert Winterschuhe Halbschuhe Leder Neu Sohle Damen Innen PTOukZXi
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Plateau Mit Glitzer Heels Pailletten Ye Bequem Chunky High Pumps qVjzpLMGSU
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGq64zg4971 Peter Semitara Kaiser peter Für Damen Pumps blau rtQshdC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										sage:
											Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Geflochten Damen Halbschuh Alyssa L52413p Oder Gelocht Slipper n0mNPv8Oyw (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Pantolette Absatz Gabor Bis 21 30mm 43 709 B01gjwgszi 6gYbyf7
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True