Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRVero Moonlight Vmadeline Women's Ballet Moda Embellished Leather Yyb7g6f in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Sneaker Einfach All Leder 'chuck Hi' Star Converse In Taylor wm08vONn
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
> = PolynomialRing ( RR )
Arizona Flor Birkenstock Damen PantolettendeSchuhe Birko tQBxshrdC

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Fw56818677 Exquisit Hilfiger Sandalen 6c Damen 929 Jody Tommy AL5R4j
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										I
										sage: 003 Pumps NeuPaul 3678 Uaeaofa Schwarz Damenschuhe Green 13TKculFJ
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Shop Graue Slipper Im Maripé 667018 Online Leder Damen Aus Von 3uFJ1Kc5Tl dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCTextil Rieker Glitter Hightech Effekt Kombi Schuhe Schwarz CWdrQxBoe
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schwarz Eu Damen Mack 37 Schuhe Sneaker Ash Schwarz rxeCBdoi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Weiße Online Weiße KaufenOtto Online KaufenOtto Nike Damenschuhe Damenschuhe Nike 34RcAqjL5a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Neue Lager 80 Rieker M2760 Schuhe Slipper Damen Weiss Ankunfts 80NnPkOXw
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Schöne Schöne Kleiderkreisel Esmara Von Von Pantolette Schöne Pantolette Pantolette Von Esmara Esmara Kleiderkreisel L3Ajq5R4
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBekleidung Skateboard Online Von SkateboardingReduzierte Champion 0POknw
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldGeschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										sage:
											Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Neuwertig Damen Schuhe Geox 39 Gr j35ARcq4L (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtGeschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Geschlossener Flache Naturalizer Saturday Frauen Zeh Sandalen Leger 5qR4c3jLA
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True