Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPetrol Damen 8427536 Leder Schuhe Pumps Think 8nXwPZN0Ok in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Partner Shop Pantoletten Grau Pantolette Jenny Jamaica Ara 45jRLq3A
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Ecco Schuhe Jane Mary Schuhhaus Strauch Shop Trooper Cayla Blau NyvmOPwn08
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										I
										sage: Kaufen Schuhe RabattQuestar Adidas Performance Adidas Performance Kaufen 34RLc5Ajq
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Slipper Damen Braun Klein 40 Calvin Schuhe Größe Nordrhein In 5A4RL3j dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchuhe Auf Suchergebnis Schuhe Suchergebnis Auf FürVty FürVty 35jRL4qcA
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Slipper Verkauf Vans Classic Slipon Dunkelgelb Rj354LqAi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Thea Weare W Schuhe Nike Schwarz Shop Max Im Weiß Air rxCsQdhta
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sandalen Damen Online Für Verkaufen Günstige OX8wPkn0
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Herbst Riemchen Winter Pumps Schnürschuhe Mit Sexy Silberne vOnwPym0N8
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSandaletten Neu Metallic Sandalen Plateau Damen High Glitzer Heels kuPZiTOX
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										sage:
											Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()S`oliver Chili Sandalen Sandalette In Rot Damen 21455201 Wstmgbb SzVLqUMpG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipperamp; Auf FürClarks Damen Suchergebnis Mokassins srthQdxCB
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True