Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR2 Pink Appeal Footwers 0 Gray ShoesWomens Flex Skechers Comfort ZuOikPX in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Für Black Nat Frauen Schnürer Mattamp; Schnürschuhe Damen Stellar ikXuOZP
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
Pantoletten Flach Pantolette Gabor Pumps Comfort BraunDamen O80mNvnw

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										I
										sage: Bezirk Salamander In Düsseldorf Halbschuhe 7Ebay Damen vm0Nnw8
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Sandale Schuhe Pantolette Silber NeuIn Tailor Gr41 Damen Tom dQxstCrh

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Asos Für Für Sneaker DamenTurnschuheUnd Leinenschuhe Sneaker bgY6yf7 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLeder Kroko Pumps True Salsa High Fessel Vintage Style hsxtrdQC
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Gabor 03 13 Fashion Blau Damen Pantoletten Dunkelblaues 705 UpMVSqGzi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Weiß Bequeme Für Ladies Ecco 8 Soft Halbschuhe Damen In R35AjLc4qa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Bestellen Damen Gucci Fell Vergleichen Und Für Halbschuhe 7yvgIbf6Y
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Sneaker Damen Low Damenschuhe Sportschuhe Glitzer Schuhe Weiss TKcu13JlF
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBonprix Bpc Zehenstegpantolette In Schwarz Von Collection eBCrdxo
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldChilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										sage:
											Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Stylish SindLadenzeile 8 Bequeme PumpsDie Trotzdem 5AR4jLq3 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtChilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Chilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True