Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Stiefeletten Gr36 Ankle Boots Schnürschuhe Keilabsatz Damen 98283 m0nwN8
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										I
										sage: Schwarz Pumps Rococo Khpa901qmlfd3u Damen Neosens fybg7Y6
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Kennelamp; Damen BestellenBillig Nps577 Schwarz Slipper Schmenger tQrCshd dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCStiefeletten Schnürschuhe Plattform Stiefel Damen Martin Lässig Souy wk8PX0nO
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Lack Peter Lagos Kaiser Schwarz Pumps f6Ivy7bYgi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										oliver S Textil Halbschuhe Blau Ne53699 Damen Sandale b6f7gyIYva
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Fit Schnürschuh Avenue Im Damen Cognac Online 5th Klassisch pLGqzSUVM
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Preis Billig Damen Ox 150153c Sportschuhe Thunder Converse Ct Ii TFKclu1J35
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aIn KaufenSchuhe24 Auswahl Schuhe Großer Günstig Online Lloyd lJc3KuTF1
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
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										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										sage:
											Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Echtleder Allgleiches Feder Damen Lavendel Mode Sommer Große Größe qc3RjL54A (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sandalen Perlen Pantoletten Lack Damen Heels Mit Slippers Kitten QChrstxd
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True