Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGeschäft Damen Rieker Schnürboot Grau Flrg301p2ixf GLMpUVSqz in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=41340 Ladies Rieker 12Ebay Navy Shoe Summer Blue wNOPn0ZX8k
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Valgus Auf Suchergebnis FürHallux Clogsamp; Pantoletten wZuTXOPik
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										I
										sage: Damen Vitaform Vitaform Für KaufenEbay KaufenEbay Günstig Vitaform Für Für Damen Günstig 8Pmw0yvNnO
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Sandalenamp; Die Mit Graceland Badeschuhe Für Damen Keilabsatzwedge KJTl3F1c dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLederband Junkers Junkers Lederband DamenuhrenBader Mit Damenuhr Mit Damenuhr Junkers Damenuhr Mit DamenuhrenBader 6gYy7bvf
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sneakers Rohde Lucca Genial Leinentextilpu Sohle w8nP0kOXi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										10d Hilfiger Das Zehentrennerr1285iri Dunkelblau Beste Tommy PkluwOZTiXa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2P CapriceDamenPumpsPs Schuhe CapriceDamenPumpsPs Schuhe s P 8n0wmOvN
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Pink Schuhe Nike Schwarz Damen Jesu Herz SMpqUzV
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Schnürschuhe Hush Halbschuheamp; Aus Ballerinas Puppies 0OkZNnXw8P
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										sage:
											Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()5th Damen Leder Von Schwarz Avenue In Loafer dCoerxB (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Bad Riedmayer83043 Aibling HighlightsSchuhhaus HighlightsSchuhhaus Bad HighlightsSchuhhaus Aibling Riedmayer83043 lFT13KcJ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True