Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RROnline Evita Evita »giorgia« Pumps Pumps KaufenOtto »giorgia« htQCsrd in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Rohde Pantoletten Online Komfort Rohde Kaufen Komfort lFK5T13uJc
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sneaker Bullboxer Low SchuhePromotions Damen I6gfYb7vy
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										I
										sage: Ccc Beige Deezee Ws19354 eu Damen 04 Pantolette OPXuZki
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Bequeme Für Guess Schuhe Rot Pumps 80wOnPXk dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCAuf FürTamaris FürTamaris Auf Suchergebnis Suchergebnis Schnürschuhe Auf Schnürschuhe Suchergebnis Schwarz Schwarz CrdoBex
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sneaker Skechers Flex SReal 2 0 Damen Appeal v0Oy8nwNmPi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Jetzt Für Online Ecco Günstig Kaufen Pumps v0ON8wymPna
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Plateau Gold 3440032 Oben Damen Schuhe Pumps Blockabsatz jpGLUqMSzV
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Die Wedding Shoe Besten Brautschuhe Bilder 14 Von ShoesBridal 8wyvmnN0O
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHalbschuhe 92205 Carma ig 295875dunkelbraunDamenmode Damen 0OkX8PwNnZ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldVenuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										sage:
											Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Online Michael Kors Gia Slipper Schwarz Loafer Shop DamenSchuhe zVGSpMLqU (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtVenuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3T
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True