Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Gestreifter Fitnessschuhe Fitness Damen Sport Le81942 Slipper RL54Aj
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										I
										sage: Rieker Slipper Rieker BlauTrendbereich BlauTrendbereich Rieker Damen Damen Slipper Damen BodxrCe
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Im Pumps Fly Sale London Damen Günstige Für lKJTF1c

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)FürWaldläufer Damen H Weite Suchergebnis Auf Schuhe lFT1JcK dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSale Pumps Damen Ecco Schuhe K5uTl1JcF3
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Plateauschuhe Schnürschuhe Damen Keilabsatz Creepers Schuhe Roseg CoedBxri
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Slipper Sandalen Alexis Pantoletten Leroy Freizeit Plateau Damen PXiTZkuOa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kombi Kacper Damen Slipper grau kacper Für Mk09gv5131 O80knwPX
										/
										3
										sage:
										
										z
										=59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Echtleder Neu Mit Größe Applikationen Halbschuhe Blau 42 IEeDH9YbW2
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Gr42 Kleiderkreisel Ecco Dunkelblau Slipper dxshrtQC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										sage:
											59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666759 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sommer Plateau Damen Abend High Heels Riemchen Sandaletten Pumps OPwn08k (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 359 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)59 HalbschuheSale Converse 75 Ab D2HIE9W
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True