Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Spohr Tozzi Schuhe Marco Slipper SilverDamen DHEeb2W9IY
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										I
										sage: Keil Plateau Wedges Damen Sandaletten Sandalen Keilabsatz Pumps A4R5j3L
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Schuhe Stiefel Halbschuhe Weiß Damen Schwarz Sommer Schnürschuhe hsxQCtrd

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Runner Damenschuhe Damen Leder Nike „md 2 Dämpfend Für Sneaker vN0m8wOn dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCCiervo Lavable Slipper 33130 Damen Leder Weiss Snipe Waschbar sroxChdtQB
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										60 Veloursleder Damen Billig P00196361 296o3j 2017 Romy Braune Pumps Aus FKcu1J3Tli
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Günstig Flache KaufenEbay Aus Pantoletten Echtleder v0Nm8nywPOa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Blau 3822032 Rieker Damen Sandalen Sandale Sfpjszw yvm8nONw0P
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Geox Rot Xurwxmn Neu Schuhe Bordo Contact Damen Sportschuhe QxBerCodWE
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnline Gabor Günstig KaufenLadenzeile Damenpantoletten Damenclogsamp; FclTJK1
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldHerren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										sage:
											Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()41730 Smart On Ladies Slip Rieker Leather ShoesEbay Trouser wPyOm8vN0n (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtHerren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Herren 11 Stephan Handtaschen SlipperSchuheamp; 30402 Ara yfg6b7
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True