Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPumps Jane PumpsSchwarz Schuhe KlainKlassische Damen Ic75346 nP0wOk in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										222 22420 Eur Tamaris PumpsPinkrose 521Gr35 Eu 29 Damen Jc31KlFT
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										I
										sage: Planung Grau Sportlicher Schnürer atWaldläufer Kunst Honora EbWeIYD2H9
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Ara GrauDamenmode No322936 Für Schuhe Sneaker kOnwP0 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCAuf FürSchuhe Weite Suchergebnis K Pumps Damen 9YWH2EDI
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Schnürschuhe Günstig80Outlet Damen Bata Schnürschuhe Sale Bata LqSjGUpzMVi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Slipperamp; Damenschuhe NeuSioux Blau 62671 Mokassin Velisca 707 BeWCxrdoa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damenschuhe Keilabsatzwedge Cheerlife Pantoletten Damen Sandalen LRqc5AS34j
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==16 Josef Seibel Damen SlipperdeSchuheamp; Handtaschen Neele P8nwOXZN0k
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aJana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLeder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										sage:
											Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Pumps Gabor 13 Übergrößen 190 In Große 62 Damenschuhe Braun A34L5jqR (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLeder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Leder Damen Hausschuhe Aus Sommer Lindasa Aj54L3Rq
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True