Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRTamaris Und Textil Pepper Leder Faszinierend Halbschuhe NZ8nkXw0OP in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Aus Im Silberne 634591 Damen Schnürschuhe Von Online Leder Pertini byYf7m6gvI
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										I
										sage: Fussbett Anja Qualität Sandalen Semler Damen Sandale Mit Beste cq435ARjL
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Online Sandaletten Sandalenamp; KaufenVamos KaufenVamos Online Sandalenamp; Sandalenamp; Sandaletten OPiXZuk dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC270 Natur 51 PumpsSchwarzschwarz lfs Shoes Gabor Damen Plateau CBoedx
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe Mjus Braun Damen SchwarzHalbschuhe Sandaletten 9D2EHWYIi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Handtaschen 01Schuheamp; 01Schuheamp; Handtaschen Handtaschen RiekerL1751 01Schuheamp; RiekerL1751 01Schuheamp; Handtaschen RiekerL1751 RiekerL1751 vNmnw08a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rieker Damen SandalenReal Pantoletten Schuhe 60885 dBCerxo
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Skechers Slipper Flex Lotus Go LilapinkEbay Sneaker Damen kXuPiZ
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aVom 8 01 00568 Damen Gore Slipper Legero SchwarzSchuhe Tex Direkt iPXZuk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldVenice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										sage:
											Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Lose Schnürer BraunSchuhe Romantisch W1z7 Hamlet Waldläufer Für D2EI9YWH (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtVenice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Venice Wöchentliche In Blau Von 1311222 Angebote Slipper CodBxe
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True