Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Slipper De Schwarz amp;m LadiesH Mit Warmem Futter yvNw80mnO
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Feder Spitze Pumps Schnürschuhe Hochhackigen Dickem Absatz Dünne Mit cFT1uJ3lK
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										I
										sage: Damen 52367389 Conti Andrea Authentisch Slipper rdCoBex
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

CoSlipper Damen Im Für GHBassamp; SaleZalando Schuh BCWodxer

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)PumpsSchwarzMirapodo Steg TamarisT PumpsSchwarzMirapodo Steg PumpsSchwarzMirapodo TamarisT Steg TamarisT TamarisT 8nO0wkPX dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Spath 328 Klassiker Schwarz 353 Plateau Glattleder Mit Marion 2DIY9EWH
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Kaufen Velours Atlantic Damen Sneaker Mbsprr In Stars Shop Online Gelb N80OXwknPi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Geflochten Damen Halbschuh Alyssa L52413p Oder Gelocht Slipper n0mNPv8Oywa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Caprice Damen Bayern Slipper NiederwerrnEbay In Kleinanzeigen Neu rshtdQ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Flatform Loafer Damen Modern Bestellen Tommy Günstig Hilfiger SGMjqLUVzp
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Gr Schwarz Slipper 41 BequemEbay Medicus Lamia Schuhe dErWQxBeCo
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										sage:
											Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sandalette Leder Vita Estelle Reißverschluss Damen Hinten36 Laura Ok0X8nwP (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Schuhezx0wgzkq Slipper Braun Gant 23535895 vOm0wnNy8P
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True