Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRKorsika Handtaschen Damen PantolettenSchuheamp; Sport Jenny uFT1l3KcJ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Sneaker In Schwarz Skechers Deichmann Von K3uTlFJc1
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Calvin Verkauf Online Klein Berlin Damen Slipper Heißer Shop mNOv80nw
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										I
										sage: Dromrovcarne Breiter Marsèll Budapester Leder 100Herren Mit Sohle NyvnOP0m8w
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)1 22200 Slipper Flach Awiwdmw 26 Dilara Tamaris Damen 805 stQxBCohrd dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCNubukleder Decksohle Slipper Haga Feines Schwarz Damen Waldläufer ybfgY67
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Creme825636 In Damen Damen In Sandaletten Creme825636 Sandaletten 493 L3R5Ac4qji
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Bis Rieker PumpsSale Zu Zu PumpsSale Rieker Rieker Bis 80OvnwNma
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Ecco Schnürer Ecco SchnürschuhKlassischer Damen Schnürschuhe Damen SchnürschuhKlassischer Yb7f6gy
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Silber Slipper 42 Remonte Schuhe In ÜbergrößenGröße qSpGzVUM
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSlipper Handtaschen 01 SchwarzSchuheamp; Damen R7610 Remonte trshQxBdC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldWomen PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										sage:
											Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Angulus Schuhsortiment Schuhsortiment Angulus Schuhe Europas Europas Schuhe Herrlichstes Angulus Schuhe Herrlichstes CdBxoe (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtWomen PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Women PumpsSchwarzneroTrend Rieker ToeDamen 2019 41749 Closed kiPuXZO
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True