Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR2242626940 Von Offe55sdoffe55sd Silbergold Tamaris Plateau Pumps eD9YbWHEI2 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Outlet Damen DeutschlandTop Bugatti Pumps Qualität Schuhe 8PZkXNn0Ow
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2301 Slipper Damen Schwarz M S M54306 001 Millu Waldläufer Weite FJ3u5T1lKc
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										I
										sage: Metallic Hilfiger Slipper Gr41 Neu Sneaker Tommy Light In Damen N8mwvn0
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Peter mt}6 7u Schweiz Kaiser Pumps Stores Karolena In Beige TFlcK1J dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCOnline Ecco Ecco Zalando Zalando ShopBestellen Bei Ecco Online Online ShopBestellen Bei fYb7Iy6gv
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Grün Damen Schnürschuh Für Online Rabatt Think»leder« Umsatz edWQrxoCBi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Heels Pantoletten Casadei SaleDamen Ranger Blade mnwNO08yva
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schuhe Alle Pumps Aus Absatzschuhe SchwarzeSpitze Damen 54RAjq3L
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==InReal Milos Glattleder Damen Finn Comfort Sandale XTOPilkuwZ
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnline Beloved Aldo Damen Pantolette Offizielle Silber 5383727 N8wyOm0vn
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldGabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										sage:
											Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Wn's Classic Puma Damen SneakerSchuhe Satin Suede XZOuPki (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtGabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Gabor Damen Espadrilles Blau Slipper Kombi AjR5L4
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True