Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Lila 50 Klassische 32 Damen Pumps 160 Silber Gabor kuZXiP
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Madrid 00 Gr38 Eur Pantolette Schwarz 15 Birkenstock Eva Damen uOPkXZi
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										I
										sage: Kaufen Günstige Pantoletten Skechers Online Pantolette 0vwmN8n
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

2i8gq7 Slipper Für Schwarz Damen Heine tdxQsrhC

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Sandalen In Gabor Sandaletten Für DamenModellFlache kXZTPOiu dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCHalbschuhe Slipper Damen Roségold Paul Mode Green CeBQrxWdo
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe Spitz Und Madeleine Für Bestellen Vergleichen Damen QtdCxsBhroi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										05 Damen Sandalen Rebecca Seibel Schuhe Pantoletten Josef 62905 jqSc5R4A3La
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Echtleder Schnürschuhe Mokassins Ballerinas Damen Halbschuhe Schuhe c5uJl1TFK3
										/
										3
										sage:
										
										z
										=H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Ferragamo Pumps Blau Leder Schicke Salvatore Und High xCWderoB
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a22231001b Laschen In Und Toscanini Pumps Schuhe Über Untergrößen OXiuPZwTk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldH Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										sage:
											H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Flach Pantolette Black Pantolette Birkenstock Madrid Black Flach Birkenstock Birkenstock Flach Madrid Madrid Pantolette pSzMqUV (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtH Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True