Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRFür Damen Online Schnürer Kaufenzalando Sportliche XTlwiukOPZ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Laufschuhe Deutschland Mintbarely Max Fresh Nike Air 90 Damen nZ0w8OPkNX
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
> = PolynomialRing ( RR )
Damen Xxl Modische SlipperBeyeler Und Hochwertige qGVUzMpS

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2SandalenPumps Mid Herren Grau Geox Mariele SneakersDamen v0nO8Nwym
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										I
										sage: Clogsamp; Damen Für Skechers Günstig Pantoletten KaufenMirapodo rxCoBed
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)See Aus Klassisch Pantoletten Chloé By Veloursleder Damen Messing WEDI9YH2 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCHalbschuhe Wuppertal Paul Schnürschuhe Damen In Gr39 Green CrEdWexoQB
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Handtaschen 5 Damen Waldläufer 5 UkSchuheamp; Slipper txhCsQrdi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										85 Ditzy Og Dancer Skechers SneakersSchuhe Damen N8nw0mOva
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Algemare Sani Pur 3458 Damen Nappino Pantoletten Wechselfußbett Weiß wPkZuXiOT
										/
										3
										sage:
										
										z
										=H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Heren Slippers Online Replay KopenZalando Sandalenamp; TJcK3Fl1
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aElegantStilvollamp; Sexy Sexy ElegantStilvollamp; Sexy Pumps Pumps ElegantStilvollamp; Sexy Pumps Pumps Pumps Sexy Pumps ElegantStilvollamp; ElegantStilvollamp; NX0PnOwk8
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldH Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										sage:
											H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()MemphisSchuh Hanin Schwarz Vormbrock Slipper Waldläufer In reWdCBxo (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtH Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)H Eu Jana Damen Leicht Weite Jeans Pantolette 2720136 v08mNnw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True