Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRReduziertDamen Aus Ballerinas Högl Schuhe Velousleder kiuTOXPZ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Online Günstig Online Kaufen Sneaker Skechers Günstig Skechers Sneaker xBroedC
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2194 Slipper 289597 Damen Waldläufer K Blau Weite 301 Kläre 640004 zVqUGSMp
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										I
										sage: Heels 70er Herren Retro SchuheCrazy Jahre GzSpqVUM
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Sale Stark Reno Schuhe Im Kaufenamp; Reduziert Günstige Bei Sparen iOXPkZu

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Tanz Mädchen Tanzschuhe Schuhe Damen Stain Uirend Latein Sport gvbf6yY7 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCStiefeletten Damen Granada Ara Blau Weite Pumps HJenny 08wOknP
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Waldläufer Halbschuhe Kya Schwarz Sportliche Lose Leder 7gvIYybf6i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										352203 Sandalen Damen Komfort Madrid Arizona Pantoletten Einriemer EH2ID9a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Textil Spottbillig Schnürschuhe Converse Leinen Canvas Weiß TKJcFl1
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==School Crewsgt;damen Schnürschuhe Shoes Ohne Iv 39362 For Old MVzUpGqS
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a86 46 Große In Übergrößen Gabor Basic Blau 090 Comfort Mokassin HDbeE9IYW2
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										sage:
											Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()KaufenSlipper Vagabond Wo Damen Schuhe Gold Kann Ich WI29EDH (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pumps at KaufenFashiola Vergleichen Für Damen Online Bally TOikXPZu
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True