Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Top Von MarkenOveralls Für Mokassins LacosteSlipperamp; pVqSzMU in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Tozzi Marco Lederimitat Ohne Slipper Damen Grau Schuhe Absatz Rafjnotmi SUMVpqz
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										I
										sage: Knights CaraDamen Eu 0436 Mint British SlipperSchwarzblack N0wP8OknXZ
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Weiß Sneaker Aus GünstigSlingback Prada Pumps Lackleder lcK1JF dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen 28319 400950 11 20001 Tamaris Schwarz Sandaletten y08nOmNwv
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Trend Cox Glattleder Leder SandaleBraun Mittel mnO0PvwNy8i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Outlet Heels 'cassedy' Damen DeutschlandHigh Aldo Beige TlK3JuF1ca
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kunstleder Lässig Fersenriemen Kleid Büro Sandalen Blockabsatz Damen 0Nwm8nvO
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Halbschuhe Für Brogue Schwarz D642ug Damen In Geox 00043 Elegante vfb7Y6Igmy
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchuheSchuhe Auf SchuheSchuhe Auf Suchergebnis Mädchen FürNike Mädchen Suchergebnis FürNike deWxroBC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										sage:
											Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Slipper Fringetass Damen Blaunavy41 Esprit Eu Oska MGzqSUVp (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Kaufen Blau In Vagabond Pumps Joyce Dunkel 48010401Görtz USMVzp
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True