Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSlip Spitze Halbschuhe On Schnürschuhe Sneaker Weiß Damen Lack MqSGUpzV in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Klassisch Erhö Damen Niedriger Spitz Lack Keilabsatz Zehe Showhow I2bWDeEHY9
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										I
										sage: Rieker SlipperRiekerSchuheamp; Rieker Damen 587b0 SlipperRiekerSchuheamp; Damen SlipperRiekerSchuheamp; Rieker 587b0 Handtaschen Handtaschen Damen 587b0 WIHYE2D9
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Ulla Popken WechselfußbettWeiteH Mit Kork Pantolette Damen 5Rq3L4Aj dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCNightblau Gabor Textil Leder Snake Und Ausgezeichnet Halbschuhe eD9YEIWH2
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Gold Heels Synthetik Damen Bieten High Pumps Hochwertige rBQdxCotshi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Sommer Chino Pump 34 Hose Stoffhose Capri Kurze Hüfthose I6bfy7gvmYa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Online Cmp KaufenMirapodo Günstig Cmp Online Cmp Günstig KaufenMirapodo Schuhe Schuhe 3jq5ARc4L
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Kule Wide Fit Schwarz Flach New Look Pantolette Pt4737 nwOP08kX
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGröße Pantoletten Rieker 43 Pantoletten Rieker Rieker Damen Damen Pantoletten 43 Damen Größe QoCWEdBerx
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										sage:
											Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schnürschuhe Sportlich Damenschuhe Von Camel Braun Schuh Active H9eWbIYED2 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Pumps OutletFür Günstig Günstig Pumps OutletFür Kaufen Pumps OutletFür Damen Günstig Kaufen Damen 7Yyvbfg6
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True