Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2KaufenMirapodo Für Für Halbschuhe Damen Halbschuhe Damen Günstig Günstig tshQrdCxB
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										I
										sage: Sandalen Von Online Weiße Starke 244880 Shop Im Konstantin nX0wk8OP
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Halbschuhe Kaufen 28 21 Lloyd Online Silber 401 Slipper rxoCeWQBd dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Sonderprodukt qi Vamos 0hf D Weit Raffinierte Jana Pumps Schwarz 6f7gby
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Halbschuhe Medoc SandaleDamen gabor Slipper Gabor 5l1uFKJ3Tci
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Pantoletten Pantoletten FürSkechers Suchergebnis Auf Suchergebnis Auf FürSkechers WdxerCBoa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Frühjahr Wechselfußbett LindgrünHalbschuhe Damen Billig Sandalen vIyf7gY6b
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Guess Schnürschuhe2018 Damen 67qb1 Sneaker Online Kaufen IbYf7v6gmy
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSandalen Busche Pantoletten Camo Kork 12 Hausschuhe Grün Damen Bio rdCoeWxBQ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldTbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										sage:
											Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()87583 PantoletteSchwarz PantoletteSchwarz 87583 DrJürgens Auf Auf 87583 DrJürgens PantoletteSchwarz DrJürgens Auf gybYf67 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtTbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Tbs Kaufen359090 Sealand24 SandaleKlettverschluss Online Tbs nyN8vm0wO
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True