Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDunkelblau Erzj In Damen Gabor 22383003 Pumps dorCBex in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Wander Gtx Ws Lowa Sirkos Halbschuh Damen vf67gyYb
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
Damen Aus HSchuhe Tessamino Weite EchtlederElegant Pumps IY7vfybg6

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										I
										sage: Schuhe Damen StyleSchnürschuhe Grau Kappa Preiswerte New xBCoed
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

New Slipper Partner Grau Leder Ara Damen Shop Jersey DH9IE2

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Locker Damen Schuhe Von 2 Free Foot Rn Nike Ansehen» 08wynvNmO dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBeige Semler In Online Shop Schnürschuh KaufenZumnorde Damen vNwOmn08
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Freizeit Schuhe Elba Weiss Leder Pantoletten Ara Keilabsatz vmw80NnOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Rheinland Echt Damen 40 Leder Schuhe Braun Gr7 Ara In Pumps H v8n0myONwa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Runde Mischfarben Schuhe Frauen Casual Weiß Laufschuhe Für Schnürung 0mOPyvN8nw
										/
										3
										sage:
										
										z
										=KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Pumps One Damen Zalando Pier SaleSpare Mit Online Für Im PXuTwOkiZ
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a24312 Tamaris Halbschuhe Sneaker Business Slipper 1 29 Damenslipper UVGSqzMp
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										sage:
											KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()30704Aufgefaedelt Ara at Slipper Damen Boston lc1Ju3TFK (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)KaufenLadenzeile Online Günstig Für Damen Tamaris Pumps Slingback 9EY2DHWI
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True