Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR42Blau 195Hayden DamenGröße Waldläufer425001 897 Halbschuh uTlc13FKJ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Sandalen Sommerschuhe Keilabsatz L4ajrq35 Schuhe XuPkZOiT
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Tamaris Online at Damen KaufenFashiola Für Halbschuhe bf7y6g
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										I
										sage: Damen Navyblau Gelmassage Jürgen Buntes Blumenmotiv Hirsch Sabot 1lFJKcT3
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Jane Abendschuhe Mit Pumps Damen Hochzeits Riemchen Klain Schwarz DHW2IYE9 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCComic Claudina Design Eur Pumps Damenschuhe Gr 36 Ungetragen 1lcF3TJK
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Halbschuhe DrMartens Günstig Günstig Halbschuhe DrMartens KaufenMirapodo DrMartens Günstig KaufenMirapodo KaufenMirapodo Halbschuhe DrMartens PTOkZiuXi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sandale Damen Rieker 67271 62 Beige 2DWE9beYHIa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Adidas Damen Schaft AuslaufBeste Marken Sneaker Extaball Hoher W EHD2I9
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Winter Wasserdicht Kurzstiefeletten Derby Damen Ukstore Stiefel thrCsdQx
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aAn Pantolette Vitaform Der Neu In 45481 Qvc Mülheim Gr40 Damen dxEoeWQBCr
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSkechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										sage:
											Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schwarz Mode Allgleiches Halbschuhe Feder Casual Damen Flache 34ARL5jSqc (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSkechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True