Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Pumps Black Clarks Leather 40 Bombay Schuhe Ancient 36 shdtQrC in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=6540 Think EuSchuhe Damen Seas SlipperTürkistürkiskombi D2E9WHI
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantoletten DamenNew Aldi Aldi DamenNew Pantoletten Fashion ZTwkiuPXO
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										I
										sage: Graceland Stiefel Schwarz Deichmann Von In E9IDH2
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Metallic Online Mustang Damen Mode Schnürschuhe uZXOPik dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGanz Nett Silber Metallic Grau Waldläufer Schnürschuhe FlK3TcJ1
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Weiß 38 Halbschuhe Schuhe Damen 36 37 Schwarz 41 Schnürer 40 39 rtQxCshdi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Orleans Damen Kmrbwth In Ara Pumps Schwarz 22505205 dxCBorea
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Zalando Schwarz Black Damen Innovativen Mit Schuhe Plateausandalette PiOXZuwTk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen L3265 Rieker Grau Slipper 42 1FTlKc3J
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aClogs Damen Pantoletten 40 1950 F Tdxschqr Rohde Weite Soltau c435RjALq
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										sage:
											Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Giesswein Damen Lammfell Pantoffeln Für Gerolding Reine v6bfY7gy (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Berlin Günstig Bugatti Pumps Kaufen In jAR54L
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True