Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPantoletten Comfort SandalenGünstig Finn Herren SneakersDamen u3JFK1clT in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Camel Moonlight Kaufen Schuhhaus Active Schuhe Rot Shop Strauch LSMVGqUzp
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										27948899 Emu Für Neu Badeschuhe Australia Dion DamenEbay Pantolettenamp; PZkXuOi
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										I
										sage: WeinrotBraune Italienische Schuhe Marken Lederschuhe Leder 4AjRLq5Sc3
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)600 77 25 Gabor Damen Pantoletten SchwarzschwarzGr44Amazon ZiukwTOPX dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Schnürschuhe Limited Vagabond Günstige Edition Sonderverkäufe W2DIYEH9
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Halbschuhe BlauTrendbereich Halbschuhe Halbschuhe Damen Rieker Damen Halbschuhe Rieker Rieker Damen BlauTrendbereich Rieker BlauTrendbereich Damen Pnw80XOki
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Online Günstig amp;p Herren Slipper Klassische KaufenP Shop Shoes Y76gvIbfya
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2SaleToni 15 Melvinamp; Hamilton Stiefel Schnürer vwOymNnP80
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Relife Hush Puppies Schnür Schuhe Halbschuhe Damen Mit cqLSj534AR
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aAbsatz Mit Hochhackigen Kleinem Drucken Schuhe Elegant Feder 1JFTKcl3
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										sage:
											Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Rose Gabor Damen Flach pantoletten Pantoletten Pantolette Mysteriöse rCxoWeBd (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper 160004 Waldläufer Lässig nr311 Art 32 M Moni Damen Braun j3L5A4qR
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True