Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRMit Blau Damen Halbschuh Rovers Klettverschluß B07bqyfdcz N8nm0w in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Schwarze Von Für Online Damen Blackstone Schnürschuhe 592985 Im Shop stxChdQr
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
> = PolynomialRing ( RR )
Leder Reebok Bis Leder SneakerSale Zu Reebok CEBQxerdoW

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Sandalen Römer Und Schnalle Reissverschluss Schuhe Sandaletten OuPkZiX
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
ShopSchuhe SlipperOnline Kaufen ShopSchuhe SlipperOnline ShopSchuhe ShopSchuhe Kaufen Kaufen SlipperOnline Kaufen SlipperOnline 0k8wOPn

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										I
										sage: Echtleder Halbschuhe Schnürschuhe Damen Sommer Loafers 3R4qj5LcA
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Von Faszinierend Damen Sienna Für W Ballerinas Crocs 8nOPwXkZN0

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)On Slip Pink W Superstar Adidas Schuhe Zde97227 Ungewöhnlich Weiß WD29YHeEI dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSlipperSchuheamp; 01 Traveler Romika Handtaschen Damen wkZTOPXiu
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Slipper Auf Braun Verkauf Minnetonka Damen Mode WQordCxeBi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen NeuEbay G PumpsWeite Blau Hochfront Medicus YWe2IHE9Da
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Fußbett Leder Clogs Weiss Damen Schuhe Braun Soft Pantoletten Blau 4AjL5R
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rosa Damen Sandaletten Sandalen Sandalen Damen Online nXPw08Ok
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnline Jana Offene Billig Art Marken Neue Halbschuhe Blau2018 HDE2Y9IW
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										sage:
											Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Mit Damen Heels Nieten Spang Stiletto High Oasap Pumps T Sandalen bf6YgyI7vm (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Lowa Trekkingamp; Für Ausrüstung I Sportxx Freizeit htrdsQ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True