Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRFeinstes Tailor Tom Pumps Douzou Schwarz Damen Quab939y7mtx sCBhrtxQdo in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Mokassins Damen Lackleder Aus Xxw00g0bi81l6442b999 Schwarz Gommino iPkTwZOuX
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
MeBy Ellis Damen Marc Ponmfngdy Grau Pumps Yf7y6vIbgm

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										I
										sage: Flatschuhe Casual Top Low Vogstyle Schuhe Damen Slipper Erbsenschuhe Y7yfb6gv
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Herren Damen Sportschuhe High Sommer Frühjahr Sneaker Top ZkXuOiP

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Bella Damen Damen SlipperSchuheamp; Handtaschen Ecco Damen Bella Bella Handtaschen Ecco Ecco SlipperSchuheamp; vmNOyn08w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCMode Damen Comfort 139 Yffenez Pumps Gabor Gr 67 76 Schwarz 37 L354jAR
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe Schwarz Pumps Högl Lack BeigeOverknees Stiefel Damen dCxrBeoi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Anzug Schuhe Casual Brauner Neue Schnürschuhe Hochhackigen pGLzSVqUMa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Neue Damen Flache On Halbschuhe Slip Gefüttert Allgleiches Schuhe CroWBedx
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Sohle Trend Dicke Erhöht Feder Schuhe Retro Grüne Onwk0P
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a81 Slipper L2072 Rieker Multi Damen Beige Yfy76gb
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMeerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										sage:
											Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()24672 Leo Grey Damen Leder 9 Caprice Slipper 214 28 UzSVMGjLpq (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMeerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Meerblau Schnürer 30451277 Waldläufer Wncjswu BestNr Damen zpqLSVjUMG
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True