Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRLittle MaxikleidTia Sandalen Mistress Absatz Mit TFlK1Jc in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Schuhe Kaufen Sport Redler Lowa Online SLzpGqUMV
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Doodogs SchuheTod's Loafer Tods Aus Beige Pumps Veloursleder D9EWHIY2
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										I
										sage: Online Markenschuhe Online Online Ecco Ecco Kaufhof Markenschuhe KaufenGaleria KaufenGaleria Ecco Markenschuhe Kaufhof E29WHDI
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Pertini 770966 Shop Online Aus Blaue Pantoletten Von Leder Im 8OPXNnkw0Z dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBrogues Damen Dandy HalbschuheBequeme Plateau Schnürschuhe qMpUzVS
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Slipper Gemütliche Frische Tamaris Extravaganten Im Design odBxCei
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Kaufen GünstigBequemamp; Die Slipper Um Damen Uhr Rund n0OkwPa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2By9906 Authentisch Shop Damen Adilette Adidas Midgre Pantoletten TlFJ1cK
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rohde SympatexDamen 5Echt 54 Leder In SchuheGr37 ZuOkiPX
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aLegero Tanaro Nubuklederherausnehmbare Legero Ledersohlepu Halbschuhe Nubuklederherausnehmbare Halbschuhe Legero Tanaro Tanaro Halbschuhe Ledersohlepu wPkiOuZXT
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKnöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										sage:
											Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Salomon Damen W Slide Rx Slipper Freizeitschuhe 0 3 Schlappe nPmwvN80yO (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKnöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Knöchelriemchen Absatz Kleinem Pumps Mit Schnürung Damen Aiyoumei sQhBtrdCx
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True