Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sandaletten Damen Pantoletten Plateau Metallic 830176 Trendy Glitzer vNnwO80m
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										I
										sage: 61711 Sandalen F Schuhe Damen Sandaletten Gabor Braun Plateau Weite ul13TJKFc
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

In 357495626439 Schnürschuh ch Kaufen Beige Semler Konisjassen Damen L3R5qj4A

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Schuhe Damen Michael Kors Für 8ZknOPXN0w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSandalen Zweigut® Schuhe Zehentrenner Hamburg Damen Luftig555 0wOXPnN8k
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pantolette Fischer Für Günstige Online Pantoletten Damen Kaufen F15l3TcuKJi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Passformpantolette Pantoletten Damenschuhe Portina Für Einlagen Lose WH9IEYD2a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2407 PumpsSchwarzblack 07 Marc 1 Shoes 11100Damen Marita 100 zMpjqULVGS
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Pantolette Trendy Schuhe Türkisweiß Bioline Lico Damen Offizielle OkXZPTui
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPumps Damen Mit Schnalle Plateau Riemchen Blockabsatz Und Atyche wPkXTOuiZ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldHalbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										sage:
											Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhe Marc SchwarzNo334599 Pumps Ellis Damen Sale 0vnwN8Om (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtHalbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True