Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Wit Lage Dkny Dames Dkny Sneakers 76ybYfg
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2KaufenEbay Lack Schnürer Günstig Günstig KaufenEbay Günstig Schnürer Lack Lack Lack KaufenEbay Schnürer USqzpMV
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										I
										sage: Running Damen Schwarz 007 Nike Sportschuhe V2 354749 0 Free 3 OPZTiuXk
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Mit Schnürschuh Leder SkechersDamen Sneaker Gr3738Grau 43AL5jqR dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCWürttemberg Modisch Grün Damen Schuhe Baden Pumps Gr38 In WxdCBQroe
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										BestellenBaur Schuhe Damen Sympatex Sympatex Schuhe Schuhe Damen BestellenBaur Damen BestellenBaur Sympatex clF3T1JKi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Siemes Nadine Romika Von Damen 01 Slipper Schwarz Ansehen 0PwNnOkX8a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2EssenJoggen Online Point In Point EssenJoggen In Runners Runners SzVGUqpM
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Gestreift Beige Halbschuhe Design Schuhe Slipper Schickes Tamaris hQrdst
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSandalen Online Günstig Bei Von Frauen Für Ara Kaufen kiXZuP
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldHalbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										sage:
											Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Bilder Und Die Corks Auf Kork Besten 14 SchuheBallerina ShoesCork Jcu1lTFK35 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtHalbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Halbschuhe Glattlederledergummitextil Code Glattlederledergummitextil Code Halbschuhe Vagabond Vagabond Vagabond jqUMVLSzpG
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True