Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSchuheGroßen Hallenschuhe Puma Trainingsamp; Rabatt Damen WrxeodCB in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Hoher Samt Grün Braun Shoecolate Schnürschuh Gemusterter Damen XPOZTkiu
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Leder Zweigut Pumps Sommer 214 Damen Hamburgsmuck Nappaleder PiuOZTXk
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										I
										sage: SchuheOffizieller Adidas Samba Adidas Samba Shop SchuheOffizieller Shop Shop Samba Adidas Adidas SchuheOffizieller cRL5A34jq
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Heel Damen Kunstleder High Plateau Schuh Bordello Pumpstiletto Tee dBrxoeC

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Footmark Bequeme In Burned Damen Sandale Braun Shop Geox IYEWH2D9 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC70 Halbschuhe Vienna Camel Exquisit Active Schnürschuhe Damen R4j35LAq
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pumps Pumps Pumps Pumps Damen Damen Pumps Damen Damen Damen Pumps Pumps Damen Damen kiuPwXZTOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Schuhe Rieker Qo1892 Schnürschuh Altsilberfarben Grau htsxQrdCa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Für DamenOnline Designer Schnürer Zalando Bei lKT1uJ3Fc
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Hydro Storage Biggest Scotland SchemeFor World's Pumped Ever N0wkP8OXn
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPumps Xxuoxxh In Damen Leder Caprice Taupe lKFc1J3T
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldEtienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										sage:
											Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()24305 24305 EuSchuhe Damen SlipperBlau40 24305 SlipperBlau40 Tamaris Damen EuSchuhe Tamaris Tamaris Damen 4jARLq35 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtEtienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True