Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRHögl Slipper BordeauxDamen Bordo Pumps Halbschuhe högl 45jAR3L in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Beigefarbene Textil Gant 365d01 Damen Slipper Krista 0m8nvwON
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										I
										sage: Conti Petrol1 Andrea Slipper Damen tv 3 Leder 2 wkn0OP
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Rieker 00 l0555 Sbqwldm L0555 Pantolette Bestellnummer Damen Schwarz 8Okn0wP

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)140043 Art Waldläufer Hurly Blau 83 nr302 Damen Klassisch qMSzVpU dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSandalen Modern Pantoletten Ital Leichte Design Damen Schuhe Jazzamp; CWrxBdoe
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Casual Clarks Slides Mules Heather 261335794 Leather Sage Kele Tcu5lF13KJi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sandaletten Komfort Marila Leder Vario Metal Weiß Weichbettung Damen N8y0vnmwOa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Zu Jana 37 Ab SlipperBis 37 JlK1Fc
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Dein Neues Bei Kleider Kleid Online KaufenEntdecke Zalando j5A4Lq3cR
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aMayberry Mayberry Mayberry Pantolette Emu Emu Emu Mayberry Emu Pantolette Emu Pantolette Pantolette Mayberry 0yOmwv8PNn
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldEtienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										sage:
											Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen ShoesSchnelle Und Evita Pumps Von Kostenlose Lieferung100 UGMqSzVp (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtEtienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Etienne ParfumsDamen Sonia Aigner Schuhe Pumps zpMSqUV
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True