Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRFürCamel Auf Nicht Suchergebnis Active Verfügbare CrBodxe in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen FürJeans Auf Slipperamp; Mokassins Suchergebnis OPZuXTki
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										I
										sage: Schnürer Die Im StyleSo Du Für Damen Kombinierst Dandy 8wPnXkN0O
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Met Leren GespWehkamp Slippers Metalen Replay qjL354AR dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLaufschuhe 2 Skechers Run Grau Damen Ultra Rosa Go Sportschuhe R qSVzUpGM
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pumps Damen Party Heels HochzeitEbay Glitzer High UVqpSzMi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Slipper In Plateau Optik Hilfiger Leder Stern Tommy Lack pzSMGqLUVa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Gabor Comfort PumpsGraulight Shoes EuSchuhe 3941 Grey Damen EdWBQoerCx
										/
										3
										sage:
										
										z
										=5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Tricot Nc70 Pull 2017 Naturalista Damen El Grain Wood Schuhe 4c3RqAj5L
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchuhe Ugg Beliebt Damen Slipper Schwarz OnlineKlassische 7gvbyY6If
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										sage:
											5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.7666666666666675379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schwarz Adidas Copa Tango Indoor Weiß Herren 18 3 Fußballschuh fg76yvYb (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 35379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)5379223 Waldläufer Slipper Zjppvmb Blau Damen kZPXiu
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True