Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSole Seasonal TomsOnline Rope Damen Slippers In Schwarz Kaufen n0wO8Pk in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Für Tieffußbett HerrenAldi Nord Nord HerrenAldi Tieffußbett Tieffußbett Pantoletten Für Pantoletten IYgm6ybf7v
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
Damen Bullboxer Neu Outlet Schwarz Slipper 0OknwP

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										I
										sage: Rot Großhandel Pumps 2018 Block Damen Sandaletten High Heels H9eD2bEWIY
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Clogsamp; Clogsamp; KaufenMirapodo Günstig Clogsamp; Rohde Pantoletten Rohde Rohde KaufenMirapodo Pantoletten Günstig fvbY6yg7

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Glattleder Pumps Caprice 22409 SchwarzReal Damen dxeBorC dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCRieker Rieker SandalenRiekerSchuheamp; Damen Handtaschen 62662 62662 Handtaschen 62662 Damen Rieker Damen SandalenRiekerSchuheamp; xoQCBeWrd
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sandalen Leder Schuhe Absatz Braun Jette Damen Pantolette Echtleder 3L4qA5Rji
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Pumps Gabor 63Schuheamp; 146 Handtaschen Graugrigio46 rBWQCeEodxa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kostengünstiger Gut Pumps Frauen Nudequalität Ist Sienna Kendra Sehr EH29WDIeY
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Cbordxwqe Sneakers Arrow Beige De Geox 20 37 22picclick Eur Damen Gr jLq4A3R5
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Slipper Zanonamp; Karstadt Zago Von Ansehen» iPZlXkwOuT
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldChorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										sage:
											Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Z Pumps Schwarz 36 Euasien w mDamen 37Weiß CdBoerx (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtChorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True