Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Prada Schuhe Für Damen Prada Prada Schuhe Schuhe Für 8wnNm0 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Pumps Marita Marc Fywhhdttx Shoes 54RL3Aj
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Klassische Plateau High Stilettos Heels Pumps Glitzer Damen Schuhe txhsCQrdB
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										I
										sage: Damen Schwarz Halbschuh Bester Waldläufer Bequem Ruf Henni Pc63943 vw8ymN0OPn
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Wildleder Slipper Auf Schuhe Suchergebnis FürSchwarze 8mvNn0w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLeder Spangenpumps Winter Neue Sexy Schwarz Allgleiches Spitze Pumps IWHY2ED9
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pleaser Kaufen Und Mules Online Pantoletten Günstig CxerdWBoi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										W6676pr6vlDamen PumpsSchwarzschwarz Bugatti 10039 Spangen T ED2bHYeWI9a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Camouflage Mytrendshoe Sportschuhe Mytrendshoe RunnersReal Camouflage Damen Damen RunnersReal Sportschuhe Mytrendshoe BexoWdrC
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Eliofeet Damen Damen Deutschland Savehair Eliofeet Eliofeet Laufschuhe Deutschland Laufschuhe Laufschuhe Savehair Damen SzVpUM
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKl6wj4h Schuhe Große Kaufen Boston Clog Discount Schwarz 57783954 g7Ybyf6
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										sage:
											Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Einer Goldenen Mit Schnalle Lederschuhe Schwarz Damen Pumps Sagan ChQsdrtx (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Lila Schuhe Pantolette Damen Fila 2001481693 Pantoletten wPkO08n
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True