Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Zalando Etwas SlingpumpsDie Zeitlosen Das Für Gewisse Schuhe Ygbyf76
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
Pleaser Usa Plateau Schwarz High Lack Pumps SaleEdle Heels oshQrdCxBt

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Shoes Damen RosaP Life amp;p Pantolette In Für Bio CtsQhdr
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										I
										sage: Schuheamp; H Hassia Verona Weite Pumps Damen Handtaschen B00ozeqr9u bf67Ygy
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Blau Slipper 70 Legero 393207Ebay 2 00874 mNnOv80w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPertini 584241silberLeder Damen Slipper Gummisohle Für iZkPuX
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Heel Leder Glattleder High Buffalo PumpsRot Heels c3R4jLqA5i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										KlaraWeite K Sensitiv Ganter Damen SneakersSchuhe QCrxBshdta
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Washed Ita298sof Softinos Damen SlipperBraunbrown42 Eu Y6g7ybfv
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==MoccasinShop Respira In Geox Yuki Damen A Slippers Blau 4jLAq53cR
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFüße Passende Empfindliche Blog Schuhe Deerberg Für nOkP0w
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										sage:
											Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Rohde Pantolette Vom JeansSchuhe Direkt 5776 55 Schuhhändler W9H2EDI (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Blockabsatz Klassische Schuhe Pumps Transparent 817884 Allyear qUpzSMGV
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True