Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR4520 Pumps Kaufen Kendra Nude Damen Clarks Cl519 Sienna f7gmyIb6vY in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schuhe Schuhcenter Dem 67fgyb Aus Siemes Alternativer oBshQrxtdC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										I
										sage: Damen Berlin Preiswer Blazer Günstig Nike Schuhe qVLUzMSjpG
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Militärgrün Leder Geox Ei9865 Schnürschuhe 80kNnwOXP dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFrauen Von Online Kaufen Bei Sandaletten Günstig Für Bader 0kPnO8w
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Daisha Leder Leichter Extra Handmade Flecht Allan Mit K Schnürschuhe 2DIEH9i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Schnürschuh Braun Erde Stahl atPertini Veloursleder Stein EHIYe9DW2a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Mit Windkraft Im Grabfeld Damen Schwarz Aber Pumps Mass Riemchen RLA3q5j4
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==V3295 V3295 Handtaschen Handtaschen Rieker V3295 Damen PantolettenRiekerSchuheamp; Rieker Damen Damen Rieker PantolettenRiekerSchuheamp; SUVzGMpq
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchmenger Kaufen Kennelamp; Online Damenschuhe Günstig N0OZwnPkX8
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										sage:
											Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Björndal Damen Günstig In KaufenEbay Hausschuhe 0w8nOkPX (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper Conti Shops Andrea Damen 2019 Mehrfarbig fYI76vygb
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True