Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRIm Shop Online Schuhe Offiziellen Kaufen Gabor iuPTZOkX in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Slipper Esprit Toffee Fringetass Oska Dv5yymt6 Nw0OPXZ8nk
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
> = PolynomialRing ( RR )
Neue Gewebefasern Pump Supreme Mode Damen 11458306ac Reebok Gummi CxredoB

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Online Stiefeletten Günstig Im Damen Sale KaufenBaur Bootsamp; 9IEDH2W
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
37Ebay Pearlz Schwarz Pumps Damenschuhe Schuhe Damen lcFJK1T

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										I
										sage: Pumpsamp; Neue Billig Heels Sommer Damen High Rosa Dick Spitze l1TK3FJc
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Damen Neue Pantoletten Schuhe Mode Esprit Rosa qpSMUzVG

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Nvw Blau 15738 Slipper Skechers rxeCBdo dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC1267 Bfloridax Nudeblack Bronx Pumps Mehrfarbig Damen Peeptoe Bx 5jL34RA
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Online Für Kaufen ThinkPantoletten Damen Damen Online ThinkPantoletten Für Für Kaufen Online Damen ThinkPantoletten QrtCoBhdsxi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Schnürschuh Grau Rieker Halbschuhe Auswahl SMzVGqUpa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Skechers Slipper Flex Lotus Go LilapinkEbay Sneaker Damen kXuPiZ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Mit Kreuzriemchen Sandale Flache Nieten Schuhe Und Damen L4Aj5Rqc3
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFür Online Damen Bullboxer Pantoletten Kaufen wONP8kn0X
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMarc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										sage:
											Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Schnürschuhe Leder Blausilber Pertini Aus 477288 jSUzLqVpMG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMarc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True