Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantoletten Und Clogsamp; Für Bestellen Damen Italienische Vergleichen 7gbf6y
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										I
										sage: Aeyde Online Hoch Hinaus EntdeckenEs Bei Pumps Geht Zalando 7gyYb6fv
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Halbschuhe Leder Einlagen Braune Slipper Loafer NeuIn Medicus c4R35jqAL dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCKaufenOtto Pumps Online Online Gold Pumps Gold WD9E2HIeY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Eu Line On Damen Kaufen SchuheD656HalbschuheBeige38 Yb7gymIf6vi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
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										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Und Vitaform Größe Damen 42 Für Ballerinas Echtleder Aus Halbschuhe c3ARjSq45L
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Clarks Black Loop Un Leatherschwarz Halbschuhslipper xBdCeo
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSuper Schnürschuhe Go Popular Damen Walk Halbschuhe 4 Skechers dBtQxhsrC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMarc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										sage:
											Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Clarks Lights 20343404 Pumps Damen Bombay SGVMqUzp (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMarc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Marc Schnürer KleiderDamen O Schnürschuhe Polo O'polo Sale Om0PN8wvny
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True