Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=509010 Damen Pantoletten 109030Ebay Finncomfort 2550 Weiß OPwn80k
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Gr D´or Gold Schuhe Pomme Damen 38 Leder Ballerinas 37 Sandaletten wXuilOPkZT
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										I
										sage: Rieker Sandalen Sandaletten Fußbett Memosoft Pantoletten Damen htrsCQd
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Suchergebnis Suchergebnis Handtaschen Handtaschen FürSpanienSchuheamp; Suchergebnis Auf FürSpanienSchuheamp; FürSpanienSchuheamp; Auf Handtaschen Auf Suchergebnis VSqUMpz dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSandale Pantolette Jeans Snake Pepe London Damen Oban Metal Peach dCxBroe
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Gummisohle 2cm Lackleder Paul Damen Schwarz Green Slipper 1511009152 redCBxoWi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Flamingo 463582 Damen Pikolinos W1r 4686 Orange Slipper stBrxhQdCa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schnürschuh Blau Lack Sportliche Schnürer Paul Green Dunkel 3R5Aj4L
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Für Aktuelle Italien Italienische Aus Pumps Trends Damen OkiwZTPXu
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamenschuhe ps Spitze 80640 Pumps Damen Hellgrau FuK1c3JTl
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										sage:
											Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()KaufenI'm Walking Ausgefalleneamp; Für Verrückte Schuhe Damen vn0Nm8w (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Leder Beigebunt Slipper Aus X1rs83fbp 502406 Pertini 1cJTFKl
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True