Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRMax Storm Nike 1 Pink Kaufen Weiß Billige Pinkrust Air Oracle OuPkZXi in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Shoes School Schnürschuhe Schwarz For 39362 Damen Old Gr Iv Crews 3q4R5AjL
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										I
										sage: Wetter Jedem Damen HalbschuheGut Ecco Gewappnet Bei SzVpLqUMG
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Keilabsatz In Günstige Damen Sandaletten Synthetik Verkauf Rosa R54jLA3q dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Gant Espadrilles Krista Gant Krista Gant Damen Espadrilles 9YWE2IeDH
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Ohne Halbschuhe Clarks Muster Ballerinas Und Schnürschuhe Damen b6yYf7gi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Online Ballop KaufenOtto Wasserschuh Online Ballop »spider« Wasserschuh »spider« iTlwkuPZOXa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Ara 25 Lissabon Slipper 12 44029 Grausilber K1JucTlF35
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Spezialangebot Shoes Check Nike Damen Solarsoft Canvas Skate SVpULMjzqG
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSandalen Holz Schuhe K39 Sommer Sandaletten Slipper Pantoletten L45R3Aj
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										sage:
											Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Slipper Damen 44366 Frühjahr Panoramabeef Grau 889928455 40 4qARL35j (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pantoletten Praktische Damen Afs Schuhe Sportliche 210029 Yfg6vyb7
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True