Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPantolette CoWeejun Flach Penny Damen GHBassamp; Slide Wheel W9IYeH2DbE in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Zeppy Birkenstock io Gizeh 38 wTkXZilOPu
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Heels Rococo Damen Pumps Plomo And Neosens For S 844 mNwv8n0
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										I
										sage: A Geox SneakersSchuheamp; Handtaschen D Damen Vega HD29EYWI
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)In Braun Pantoletten Easy Damen Street Von SMpqzGUV dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Birkenstock Pantoletten1002324 Papillio Pantolette Damen Birkenstock Pantoletten1002324 Papillio Birkenstock Papillio Pantolette WE29DHIeY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Ara 37525 Beige Komfort 2018 Sandalen 12 09 Damenschuhe mPN0wy8Ovni
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Bunt Sneaker Freizeit Damen Schlupfoffen Green Halbschuhe Slipper CerdxBoa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch HygieneartikelVeggiesearch IYfv6ygb7
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damenschuhe Damen Gabor 84 200 65 Antikrosa Pumps ordxeCB
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Schuhe Silber21 Mustang Shoes Slipper Sneakers PX80wOnk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										sage:
											Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Vicari Pumps Leder Aus 590095schwarzPlateau Sandro Damen POZXTkiu (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True