Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRReebok Easytone Inspire Low 0 TrendFitnessschuhe Cardio 2 3ARj54Lq in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schuhe KaufenHeine Hochwertige Rieker Online Bequeme Und pqzVMSU
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
Halbschuhe Sabine Pumps Halb Authentisch Damen Sergio Grau Bardi In 0wkX8NZnOP

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										I
										sage: DamenFashion Blau Ava Slipper Komfort ClarksUn OZukPiX
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Boots Ankle Heels Mit Stiefeletten Keilabsatz High Fransen Damen Ye kw0P8nO

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Latschen Bronze In 37 Slipper Gr Damen Pantoletten Orthopädische TK5u1l3FJc dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGünstige Kaufen Im SaleOtto » Reduziert Mokassins dCoWQrexBE
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Arbeitsschuhe Sandalette Ipbifxb 17 Schwarz 723 Gabor 81 fgYvb76yi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Rosa38RosaSchuheamp; Tamaris Tamaris Tamaris Damen Pumps Pumps Rosa38RosaSchuheamp; Damen Handtaschen Handtaschen 0wP8nkXOa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2DamenPerfekt Pantoletten Warme Für Pantoletten Für Sommertage kiuXPZO
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Ecco Pumps Schwarz Shape M 35 Komfort QCxshrdt
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamenschuhe Damen Sandalette Sandalen 12 08 27204 Silber Ara xBeCrdWo
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										sage:
											Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Slipper SchwarzClarks Klassische Tricurve Slipper Klassische SchwarzClarks Tricurve 354AjLR (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sandalen Sales Tbs Weiß Hot Riffah Damen tsrodBChQx
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True